换钱最少货币数

给定数组arr，arr中所有的值都为正数且不重复，每个值代表一种面值的货币，每种面的值货币可以使用任意张，再给定一个正数aim，代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。

举例：arr=[5,2,3]，aim = 20。
4张5元可以组成20元，其它的方法都会需要更多的方法数，所以返回4。
arr=[5,2,3]，aim=0。
不用任何货币就可以组成0元，返回0；
arr=[5,2,3]，aim=2。
根本就无法组成2元，钱找不开的情况下默认返回-1。
暴力递归的方法

   //
   public static int minCoins (int[] arr,int aim) {
	if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
		return -1;
	}
	return process(arr,0,aim);
}
   //当前考虑的是面值i，还剩rest的钱需要找零
   //如果返回-1，说明使用arr[i..N-1]面值的情况下，无论如何也无法找零rest
   //如果返回不是-1，代表自由使用arr[i..N-1]面值的情况下，找零rest需要的最少张数
public static int process  (int[] arr,int i,int rest) {
       //base case
       //已经没有面值能够考虑了
       //如果此时剩余的钱为0，返回0张
       //如果此时剩余的钱不是0，返回-1
	if (i == arr.length) {
		return rest == 0 ? 0 : -1;
	}
       //最少张数，初始值为-1，还没找到有效解
	int res = -1;
       //依次尝试使用当前的面值(arr[i])0张、1张、k张，但不能超过rest
	for (int k = 0;k * arr[i] <= rest;k++) {
           //使用了k张arr[i]，剩余的钱为rest - k * arr[i]
           //交给剩下的面值去搞定(arr[i+1...N-1])
		int next = process(arr,i + 1,rest - k * arr[i]);
		if (next != -1) {//说明后续过程有效
			res = res == -1 ? next + k : Math.min(res, next + k);
		}
	}
	return res;
}

动态规划的方法

   public static int minCoins2 (int[] arr,int aim) {
	if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
		return -1;
	}
	int N = arr.length;
	int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];
	//设置最后一排的值，除dp[N][0]为0外，其余都是-1
	for (int col = 1;col <= aim;col++) {
		dp[N][col] = -1;
	}
	for (int i = N - 1;i >= 0;i++) {//从底往上计算每一行
		for (int rest = 0;rest <= aim;rest++) {//每一行都从左往右
			dp[i][rest] = -1;//初始时先设置dp[i][rest]的值无效
			if (dp[i + 1][rest] != -1) {//下面的值如果有效
				dp[i][rest] = dp[i + 1][rest];//先设置成下面的值
			}
               //如果左边的位置不越界且有效
			if (rest - arr[i] >= 0 && dp[i][rest] - arr[i] != -1) {
				if (dp[i][rest] == -1) {//如果之前下面的值无效
					dp[i][rest] = dp[i][rest - arr[i]] + 1;
					} else {//说明下面和左边的值都有效，取最小的
						dp[i][rest] = Math.min(dp[i][rest], dp[i][rest - arr[i]] + 1);
					}
			}
		}
	}
	return dp[0][aim];
}